۳/۱۴؛ مرموز و پرکاربرد

همه ما از دوران دبستان عدد پی را می‌شناسیم. عددی که همواره در اکثر درس‌های ریاضیاتی همراه با ما بوده و همیشه به طور پیش‌فرض در بسیاری از فرمول‌ها حضور داشته است. در دوره‌های پایین‌تر معمولا این عدد را ۳ در نظر می‌گرفتیم اما وقتی به مقاطع تحصیلی بالاتر رفتیم، ۳/۱۴ تقریبی بود که برای پی تعریف کردیم. عدد پی به عنوان نسبت محیط دایره به قطر همان دایره تعریف می‌شود و این عدد صرف نظر از ابعاد، برای همه دایره‌ها یکسان است.

در این مقاله با ویژگی‌های ریاضی عدد پی آشنا می‌شویم و می‌بینیم که این عدد چیست و به‌طور دقیق‌تر چند است. خواهیم دید که چرا عدد پی با علامت π مشخص می‌شود. سپس به تاریخ نامگذاری و کشف آن می‌پردازیم و اطلاعات خود را درباره آن مرور می‌کنیم.

آیا عدد پی گنگ است؟ خصوصیات ریاضی p یا π

پی یک ثابت ریاضیاتی با ویژگی‌های خاص خودش است. به طور مثال پی یک عدد گنگ است. یعنی هیچ مقدار صحیحی برای آن وجود ندارد و مانند اعداد طبیعی و صحیح نمی‌توان مقدار دقیق آن را با یک کسر نشان داد. به عبارت دیگر، چیزی به‌عنوان عدد پی کامل وجود ندارد.

برای نمونه، عدد ۳ را می‌توان با کسر نُه سوم (نُه تقسیم بر سه) نشان دهیم. اما مقدار دقیق عدد p را نمی‌توان به این صورت نمایش داد زیرا ارقام اعشاری p تا بینهایت ادامه دارند و اصلا مقدار دقیقی برای آن وجود ندارد. نزدیک‌ترین کسر برای تخمین p کسر بیست و دو هفتم (۲۲ تقسیم بر ۷) است. اعداد اعشاری این عدد همچنین هیچ هیچ الگوی تکرارشونده خاصی ندارند و به طور تصادفی در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند.

پی برابر است با نسبت محیط دایره به قطر آن. به عبارت دیگر، اگر یک ریسمان را به‌صورت یک دایره درآورید و سپس از یک ریسمان دیگر برای نمایش قطر آن استفاده کنید، ریسمان جدید، تقریباً ۳/۱۴ برابر از ریسمان اول کوتاه‌تر خواهد بود. این پاسخی ساده برای این پرسش است که چرا عدد پی حدوداً ۳/۱۴ است. البته این روش برای محاسبه p نسبتاً ناکارآمد است، زیرا ایجاد یک دایره کامل با ریسمان کاری غیرممکن است و ضخامت ریسمان‌ها و ابزارهای اندازه‌گیری نیز از دقت شما می‌کاهد. با این حال، بسیاری از تمدن‌های باستان که با عدد پی آشنا بودند، راه دیگری برای محاسبه آن نداشتند.

پی در بین اعدادی قرار دارد که بیشترین مطالعه و بررسی روی آن‌ها صورت گرفته. به مدت ۴۰۰۰ سال ریاضی‌دانان و دانشمندان زیادی بخشی از عمر خود را صرف مطالعه و تلاش برای پیدا کردن ارقام اعشاری این عدد کرده‌اند. افرادی مانند ارشمیدس، نیوتون، فیبوناچی و گاوس. البته که بررسی پی توسط این افراد کار مهمی هم برای خودشان و هم برای دانش بشری بوده است. پی پایه فهم ما از هندسه است؛ از نجوم گرفته تا ریاضی و فیزیک و از معماری تا ساخت سازه همگی به پی وابسته هستند.

علامت عدد پی π است که برای نشان دادن عدد ۳/۱۴ بکار می‌رود. این علامت در واقع اولین حرف کلمه یونانی «پریمتورس» به معنی محیط است. همچنین از سال ۱۹۸۸ در آمریکا و رفته رفته در دیگر نقاط دنیا روز ۱۴ مارس (۲۳ اسفند) را روز عدد پی نامیده‌اند و ریاضی‌دانان و علاقه‌مندان به این عدد آن را به روش‌های مختلف جشن می‌گیرند. دلیل نام‌گذاری این روز به عنوان روز عدد پی، یکی شدن عدد تاریخ میلادی با عدد پی است. چهارده مارس در تقویم میلادی بصورت ۳/۱۴ نمایش داده می‌شود؛ درست مانند پی.

داستان ۴۰۰۰ ساله عدد پی

اولین سندهایی که نشان می‌دهند بشر با پی و کاربردهای آن آشنا بوده به ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد مسیح باز می‌گردد. البته که هنوز بر سر اینکه ابتدا در بابل کهن این عدد را کشف کردند یا در مصر باستان بحث وجود دارد. طبق مدارک موجود دانشمندان در بابل موفق شده بودند تا پی را مساوی با ۳/۱۲۵ بدست بیاورند. همچنین مصریان باستان نیز این عدد را ۳/۱۶۰۵ محاسبه کرده‌ بودند. دلیل بدست آوردن پی توسط این تمدن‌ها نیاز آن‌ها به چنین ثابتی جهت ساخت و ساز و حل معماهای هندسی مربوط به آن بود. البته که آن زمان، یعنی حدود ۴۰۰۰ سال پیش، بشر هنوز نمی‌دانست که پی عددی گنگ است.

اما ریاضی‌دانی به نام ارشمیدس در سال ۲۵۰ قبل از میلاد، اولین نفری بود که با ارائه نظریه خود توانست چند رقم نخست پی را با تقریب بسیار خوبی بدست آورد. ارشمیدس با تقریب زدن مساحت دایره بوسیله چند ضلعی‌های منتظم توانست مقدار پی را محاسبه کند.

در قرن‌های بعدی و پس از میلاد نیز تلاش‌ها برای بدست آوردن ادامه ارقام پی ادامه داشت. به طور مثال در قرن پنجم پس از میلاد ریاضی‌دانان چینی موفق شدند این عدد را تا هفت رقم اعشار تخمین بزنند. یا در همین حین هندی‌ها توانستند تا پنج رقم اعشار این کار را انجام دهند. در قرن ۱۷ام میلادی هم قدم‌های مهم دیگری برداشته شد و دانشمندان به مقدار عدد p نزدیک‌تر شدند. از جمله افراد تاثیرگذار آن زمان جیمز گریگوری، ریاضی‌دان اسکاتلندی بود. در سال ۱۷۶۱ نیز لامبرت، ریاضی‌دانی سوئیسی، نشان داد که p گنگ است و نمی‌توان آن را بصورت نسبت دو عدد صحیح نوشت.

جالب است بدانید که تا قبل از قرن ۱۸ام میلادی، پی را با نام «مقداری که وقتی ضرب در قطر می‌شود، محیط دایره را حاصل می‌دهد» می‌شناختند. این ریاضی‌دان ولزی و دوست آیزاک نیوتون یعنی ویلیام جونز بود که برای اولین بار از حرف یونانی π برای توصیف این عدد استفاده کرد. خود نیوتون نیز در ۱۶۶۵ میلادی پی را تا ۱۶ رقم اعشار محاسبه کرد.

در ایران نیز و در قرن نهم هجری، غیاث‌الدین کاشانی، ریاضی‌دان ایرانی، پی را تا ۱۶ رقم اعشار به درستی محاسبه کرد. در آن زمان کار او بسیار ارزشمند به حساب می‌آمد به طوری که تا ۱۸۰ سال پس از او هیچ کس موفق به محاسبه ارقام پی بیشتر از همان ۱۶ رقم اعشار نشد.

برخی معتقدند که در زمان حکومت هخامنشیان بر ایران و برای ساختن تخت جمشید، عدد پی در ایران محاسبه و از آن استفاده شده است. این یعنی حدود ۲۵۰۰ سال پیش. البته که این اظهارات چندان هم معتبر نیستند و نمی‌شود آن‌ها را کاملا تایید یا تکذیب کرد. مسلما بررسی‌های تاریخی بیشتر جواب‌های دقیق‌تری در این رابطه به ما می‌دهند.

در مصر نیز برخی معتقدند که در ساخت اهرام جیزه از پی استفاده شده است. اگر این درست باشد یعنی مصری‌ها از بسیار قبل‌تر از ۴۰۰۰ سال پیش توانسته بودند پی را محاسبه کنند. دلیلی که برای این ادعا وجود دارد این است که ارتفاع این اهرام با محیط قاعده آن‌ها روی زمین همان نسبتی را دارد که قطر یک دایره با محیط همان دایره دارد.

در طول تاریخ یکی از علاقه‌مندی‌های ریاضی‌دانان ارائه فرمول‌هایی برای دقیق‌تر محاسبه کردن ارقام پی بوده است؛ حتی با این وجود که می‌دانستند این عدد گنگ است و انتها ندارد. برخی حتی تمام عمر خود را صرف محاسبه این ارقام کرده‌اند. با این حال تا قبل از اختراع کامپیوترها و با وجود هزاران سال تلاش بشر، مقدار این ارقام بیشتر از ۱۰۰۰ نشد.

اولین محاسبه کامپیوتری ارقام عدد p در سال ۱۹۴۹ صورت گرفت. این کامپیوتر p را تا ۲۰۰۰ رقم اعشار محاسبه کرد. امروزه کامپیوترهای پیشرفته ارقام p تا مرتبه چند تریلیون محاسبه کرده‌‌اند.

ذهن خلاق ارشمیدس برای محاسبه پی

ارشمیدس یکی از اولین افرادی بود که با ابداع الگوریتمی جدید توانست عدد پی را با تقریب بسیار خوبی بدست آورد. او که بین سال‌های ۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد مسیح می‌زیسته، برای محاسبه پی از چند ضلعی‌های منتظم بهره برد. یک چند ضلعی درون دایره و دیگری بیرون آن.

 این چند ضلعی‌ها باید تا حد امکان در نزدیکی محیط دایره قرار می‌گرفتند. سپس ارشمیدس تعداد اضلاع این چند ضلعی‌ها را افزایش می‌داد و محیط آن‌ها محاسبه می‌کرد. با این کار او می‌توانست حد بالا (محیط چند ضلعی خارج از دایره) و حد پایین (محیط چند ضلعی داخل دایره) را بدست آورد. محیط خود دایره بین این دو حد قرار دارد. در این روش ارشمیدس توانست تا ۹۶ ضلع برای چند ضلعی‌ها رسم کند. سپس مقدار پی را بین ۳/۱۴۰۸ و ۳/۱۴۲۸ بدست آورد. هرچه تعداد اضلاع چند ضلعی‌ها بیشتر می‌شد، دقت رقم بدست آمده هم بالاتر می‌رفت.

از زمانی که ارشمیدس از این روش استفاده کرد، یعنی حدود ۲۵۰ قبل از میلاد تا حدودا ۱۶۰۰ سال بعد، ریاضی‌دانان از روشی مشابه برای بدست آوردن ارقام پی استفاده می‌کردند و سعی داشتند با افزایش تعداد اضلاع چند ضلعی منتظم، پی را دقیق‌تر محاسبه کنند.

ستاره‌شناس اتریشی، کریستوف گرینبرگر در سال ۱۶۳۰ با استفاده از همین روش موفق شد تا ۳۸ رقم عدد پی را محاسبه کند. او برای این کار از چند ضلعی‌هایی با ۱۰۴۰ ضلع استفاده کرد. این کار گرینبرگر پس از گذشت چند قرن همچنان دقیق‌ترین محاسبه ارقام پی بوسیله روش ارشمیدس است.

البته طبق برخی اسناد، تا قبل از ارشمیدس، تسو چونگچی، ریاضی‌دان و ستاره‌شناس چینی هم موفق شده بود تا با استفاده از همین روش پی را بدست آورد. احتمالا مقداری که او بدست آورده بود هم همان ۳/۱۴ بوده. اما متاسفانه از کارهای او اطلاعات چندان زیادی در دسترس نیست زیرا کتابی که آثار او در آن بوده در طول تاریخ گم شده است.

عدد پی را بیشتر بشناسید

دایره شکلی است که در بسیاری از ساختارهای طبیعت وجود دارد و به همین دلیل در بسیاری از فرمول‌های فیزیک از عدد پی به عنوان ثابت مربوط به دایره از آن بهره گرفته می‌شود. روابط مهم دایره که پی در همه آن‌ها نقش دارد به گونه‌‌ زیر است:

محیط دایره: ۲×π×شعاع دایره

مساحت دایره: π×شعاع دایره×شعاع دایره

حجم کره: ۴٫۳× π×شعاع دایره×شعاع دایره×شعاع دایره.

جالب است بدانید که کامپیوترهای امروزی تا حدود ۱۰۰تریلیون رقم از عدد پی را محاسبه کرده‌اند و به نظر نمی‌رسد قصدی هم برای ادامه ندادن چنین محاسباتی داشته باشند. یک میلیون رقم نخست پی را در این‌جا ببینید. حال با اینکه می‌دانیم پی گنگ است و ارقام پس از اعشار آن هیچ‌گاه تمام نمی‌شوند و به همین دلیل هم هیچ‌وقت نمی‌توانیم مقدار دقیق پی را بدانیم. با این وجود تنها ۳۹ رقم ابتدایی عدد پی برای هر نوع محاسبه‌ای در عالم قابل مشاهده کافی است و به بیشتر از آن نیازی نداریم.

برای همین هم گاهی کار کار‌آمدی محاسبه ادامه ارقام پی به میدان بحث و مناظره کشیده می‌شود. اگرچه که علاقه‌مندان به ریاضی و این عدد بدون توجه به‌ آن به کار خود ادامه می‌دهند. به طور مثال رکورد محاسبه بیشترین مقدار پی توسط انسان را فردی اهل هندوستان به نام «سورش کومار» در اختیار دارد. او در سال ۲۰۱۵ موفق شد تا ۷۰۰۳۰ رقم پی را محاسبه کند. لیست کامل افراد دارای رکورد در محاسبه ارقام پی را در اینجا ببینید.

یکی از ویژگی‌های جالب و در عین حال عجیب عدد p این است که در یک میلیون رقم نخستش شش عدد طبیعی اول به ترتیب وجود ندارند. یعنی در یک میلیون رقم نخست، ما اعداد ۱۲۳۴۵۶ را به همین ترتیب نمی‌بینیم. این یکی از دلایلی است که p را منحصر به فرد می‌کند.

محاسبه عدد p توسط کامپیوترها برای آن‌ها مزیت‌هایی هم دارد و مانند یک روش برای امتحان آن‌ها عمل می‌کند. با محاسبه ارقام p توسط کامپیوترها، سطح فعالیت پردازشگر‌های آن‌ها مشخص می‌شود.

ادبیات پی

شاید بسیار عجیب به نظر برسد اما با استفاده از عدد پی زبانی به نام زبان پایلیش (Pilish) ساخته شده است. حتی یک رمان هم به همین زبان نوشته شده. ساز و کار این زبان ساده است اما محدودیت‌هایی دارد که ممکن است استفاده از آن را چالش برانگیز کند و پایلیش را بیشتر به یک زبان هنری بدل کرده.

در زبان پایلیش، تعداد حروف یک کلمه باید دقیقا با عدد معادل خودش در دنباله اعداد پی برابر باشد. به طور مثال، سه رقم نخست پی ۳/۱۴ است. حالا برای نوشتن یک جمله در زبان پایلیش می‌توانیم بنویسیم: Wow(3), a(1) star(4).

در این جمله، تعداد حروف کلمه اول یعنی wow با عدد اول پی، یعنی سه برابر است. به همین ترتیب تعداد حروف کلمه دوم و با عدد دوم پی و تعداد حروف کلمه سوم با رقم سوم پی برابر است. به همین ترتیب با ادامه دادن ارقام پی می‌توان متوجه شد که در هر جمله، کلمات باید چه تعداد حرف داشته باشند.

«مایک کیت» کسی است که تا کنون چندین داستان کوتاه به زبان پایلیش نوشته است. او همچنین یک رمان کامل را به همین نام نوشته است. نام رمان او Not(3) A(1) Wake(4) است. بسیاری از نویسندگان علاقه‌مند به زبان پایلیش همچنین شعرهایی را به این زبان می‌نویسند. بخصوص که محدودیت پایلیش باعث می‌شود تا نوشتن متن‌های عادی سخت باشد اما به نظر می‌رسد که سرودن شعر با استفاده از این زبان کار جذاب‌تری باشد.

در سال ۲۰۱۰، «نیک فیتزجرالد» که در آن زمان دانشجوی دانشگاه بریتیش کلمبیا بود در پژوهشی سعی کرد تا بررسی کتاب‌های مختلف به این پرسش پاسخ دهد که چه مقدار از نوشته‌های آن کتاب‌ها به طور تصادفی با زبان پایلیش هم منطبق می‌شوند. نتایج پژوهش او برای دوست‌داران این عدد ناامید کننده بود. در اکثر کتاب‌ها بلندترین رشته جملاتی که با زبان پایلیش منطبق می‌شدند بین سه تا پنج کلمه بود. در بین کتاب‌های بررسی شده فقط پنج کتاب بودند که تعداد کلمات متوالی منطبق با پایلیش به هشت عدد می‌رسید.

جمع‌بندی

در این متن با عدد پی (که با علامت π نشان داده می‌شود) آشنا شدیم. دیدیم که تعریف عدد پی چیست و چرا مقدار آن برابر است با ۳/۱۴. پی یک عدد گنگ است، یعنی چیزی به‌نام عدد پی کامل وجود ندارد. در ادامه درباره تاریخ عدد p خواندیم و دیدیم که تمدن‌های باستان با این عدد آشنا بودند. اولین تلاش‌ها برای محاسبه دقیق پی از زمان ارشمیدس آغاز شد و امروز، ریاضی‌دانان با ظهور کامپیوترهای قدرتمند این عدد را تا تریلیون‌ها محاسبه کرده‌اند. سپس کاربردهایی جالب و تأثیر این عدد بنیادی طبیعت را در ادبیات را بررسی کردیم.

پی از هزاران سال پیش در حل معماها و مسئله‌های ریاضی با بشر همراه بوده و زین پس نیز همین‌طور خواهد بود. عددی عجیب غریب که گاهی با استعدادترین ذهن‌ها در طول تاریخ را درگیرش خودش کرده و افراد زیادی از سراسر دنیا به آن علاقه دارند.

سوالات متداول درباره عدد پی