بیوگرافی لئوناردو فیبوناچی؛ بزرگ‌ترین ریاضی‌دان قرون وسطی

«لئوناردو فیبوناچی» (Leonardo Fibonacci)، یکی از مشهورترین ریاضی‌دانان سده سیزدهم میلادی است. برخی باور دارند فیبوناچی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان قرون وسطی است. او سیستم اعداد مدرن را به غرب معرفی کرد که درنهایت موجب تکامل علم ریاضی شد. علاوه‌براین، او «دنباله فیبوناچی» را ارائه داد که از مشهورترین عبارت‌ها در علم ریاضی است و می‌توان نشانه‌های آن را در طبیعت به‌وفور مشاهده کرد. این سری آن‌قدر شناخته شده است که حتی برخی طراحی‌های مدرن نیز از آن الهام می‌گیرند. در این مقاله می‌خواهیم زندگی و دستاوردهای فیبوناچی را مرور کنیم.

لئوناردو فیبوناچی کیست؟

لئوناردو فیبوناچی در قرون وسطی می‌زیست؛ ازاین‌رو اطلاعات دقیقی درباره زندگی او در دسترس نیست. نام اصلی این ریاضی‌دان ایتالیایی «لئوناردو پیزانو» بود اما بعدها به نام فیبوناچی شناخته شد.

فیبوناچی حدود سال‌های 1170 تا 1175 در «پیزا»ی ایتالیا به دنیا آمد. پدرش، «گوگلیمو بوناچی»، مقامی رسمی در حوزه تجارت پیزا و شمال آفریقا داشت. فعالیت‌های پدر در عرصه تجارت و مالیات سبب شده بود اهالی خانه باور داشته باشند هرکسی ریاضیات را درک کند، آینده روشنی دارد.

به‌خاطر شغل پدر، خانواده زمان زیادی را در بندر «بجایه» الجزایر سپری کردند و لئوناردو نیز در این شهر مشغول آموختن ریاضی شد. او با یادگیری ریاضیات نزد اعراب، شیفته این علم شد؛ این شروع فعالیت‌های او در ریاضیات و شهرت او بود.

فیبوناچی و ریاضیات

فیبوناچی در جوانی به مطالعه ریاضی روی آورد. آن زمان دانسته‌های بشر در این علم شگفت‌انگیز، مانند امروز نبود. آن زمان اعراب، برخلاف رومی‌ها، از روش متفاوتی برای نمایش اعداد استفاده می‌کردند. رومی‌ها سیستم پیچیده‌تری داشتند که براساس آن اعداد به‌صورت V ،IV ،III ،II ،I و... نشان داده می‌شد؛ روشی که اکنون در علوم مختلف کاربرد دارد. این سیستم اعداد برای قرن‌ها در اروپا استفاده می‌شد.

از سوی دیگر، یونانیان نیز از حروف الفبا برای نشان‌دادن اعداد استفاده می‌کردند. برای اینکه پیچیدگی این سیستم را درک کنید، مثالی می‌زنیم: با استفاده از اعداد مدرن می‌توان به‌سادگی ۱۷ را در ۱۹ ضرب کرد. حالا تصور کنید برای این منظور از Q و S که هفدهمین و نوزدهمین حروف الفبا هستند، استفاده کنید!

در سیستم اعداد رومی، چنین ضربی به‌صورت XVII × XIX نشان داده می‌شود اما در این سیستم، نمایش اعدادی در مقیاس هزار واقعاً پیچیده و دشوار است. همین سبب شده بود علم ریاضیات در ظاهر با بن‌بست و پیچیدگی بزرگ روبه‌رو شود.

مشکل دیگر این بود که سیستم اعداد رومی و یونانی قدیمی صفر نداشتند که محاسبات ریاضی را بیش‌ازپیش سخت می‌کرد و درعین‌حال پیشرفت‌های بیشتر در حوزه ریاضی را هم دچار مشکل کرده بود. ریاضیات بعد از سقوط یونان باستان در غرب به خواب عمیقی فرورفته بود و حالا نوبت فیبوناچی بود تا این علم را متحول کند.

سیستم اعداد هندو-عربی

فیبوناچی بر سیستم اعداد مدرن (شامل اعداد 0 تا ۹ بود) که در «بجایه» آموخته بود، تمرکز کرد و دریافت این سیستم در مقایسه با اعداد رومی مزیت‌های قابل‌توجهی، ازجمله تعریف مفهوم صفر، دارد. او همچنین به سراسر مدیترانه از یونان، سیسیل و جنوب فرانسه تا سوریه سفر کرد و دانش خود را در زمینه ریاضیات گسترش داد.

سیستم اعداد مدرن روزبه‌روز معروف‌تر می‌شد. پس از مدتی کشورهای غربی نیز با این اعداد آشنا شدند، سپس ایرانی‌ها نیز آن را پذیرفتند. این سیستم اعداد از راه خاورمیانه به آفریقا رسید؛ به‌این‌ترتیب، کشورهای متعددی با این اعداد آشنا شدند. البته شکل ظاهری اعداد تغییر کرده بود. در اروپا این سیستم را با نام «اعداد عربی» می‌شناختند. امروزه این اعداد را «سیستم اعداد هندو-عربی» می‌نامند.

کتاب حساب فیبوناچی؛ آغاز گسترش سیستم اعداد مدرن

به باور فیبوناچی، سیستم اعداد هندی در مقایسه با سیستم رومی مزیت عمده‌ای داشت و اروپایی‌ها هم باید از این سیستم استفاده می‌کردند. سال ۱۲۰۲، او «کتاب حساب» (Liber Abaci) را نوشت و استفاده از سیستم اعداد جدید در غرب را گسترش داد. ۲۶ سال بعد، نسخه به‌روز‌ی از این کتاب را منتشر کرد.

کتاب حساب محاسبات در تجارت، امور مالی و ریاضیات محض را براساس سیستم اعداد جدید توضیح می‌داد. این کتاب آغازگر تغییراتی جدید در افکار اروپایی‌ها بود اما رواج این اعداد فرایندی طولانی را پشت سر گذاشت (حتی پس از فوت فیبوناچی) و پذیرش عمومی آن پس از ۲ رویداد مهم آغاز شد: اختراع دستگاه چاپ گوتنبرگ در سال ۱۴۴۰ و سقوط قسطنطنیه در سال ۱۴۵۳.

سقوط قسطنطنیه موجب شد افراد زیادی به ایتالیا پناه بیاورند. بسیاری از این افراد متون یونانی قدیمی را همراه داشتند. برخی از این متون برای سال‌ها در قسطنطنیه دور از دسترس بودند. آزاد شدن همین متون به‌مرور موجب شد مقاومت‌ها در برابر سیستم اعداد جدید در ایتالیا کاهش یابد.

کتاب حساب و تأثیرات آن بر امور مالی

کتاب حساب فیبوناچی همچنین تأثیرات مهمی بر پیشرفت تجارت و امور مالی در اروپا گذاشت. اما بین کشورهای عرب‌زبان فقط دانشمندان و ریاضی‌دان‌ها از سیستم اعداد مدرن استفاده می‌کردند. فیبوناچی که از مزایای سیستم اعداد هندو-عربی آگاه شده بود، بخش‌هایی از کتاب خود را به توضیح محاسبات سود و تبدیل ارزها اختصاص داد.

این کتاب نه‌فقط در دنیای علم، بلکه در تجارت و اقتصاد نیز تأثیر زیادی گذاشت؛ می‌توان گفت اثر آن در تجارت بیشتر از حوزه علم نمایان شد و به رشد اقتصادی اروپا در قرون وسطی کمک شایانی کرد.

بعضی از موضوعات کتاب:

• اعداد جدید
• ضرب، جمع، تفریق و تقسیم
• محاسبات کسری
• قوانین مالی
• حسابداری
• ریشه‌های دوم و سوم
• معادلات درجه دوم
• تناسب
• قواعد جبری
• تصاعد

بخش جبر در کتاب حساب فیبوناچی از اصولی که خوارزمی، ریاضی‌دان ایرانی، ابوکاکل از مصر و ابوبکر کرجی از بغداد ارائه کرده، الهام گرفته بود.

اعداد فیبوناچی

دنباله فیبوناچی، قرن‌ها پیش از لئوناردو فیبوناچی، در متون ریاضی سانسکریت هند ظاهر شده بود. ریاضی‌دانان هندی، مانند «پینگالا» (قرن سوم یا چهارم پیش از میلاد)، در محاسبات خود استفاده کرده بودند اما فیبوناچی این دنباله را از طریق مسئله زادوولد خرگوش‌ها در کتاب حساب به اروپا معرفی کرد و موجب شهرت آن در دنیای غرب شد.

معمای زادوولد خرگوش فیبوناچی

یکی از مسائل مشهوری که فیبوناچی مطرح کرد، مسئله زادوولد خرگوش‌ها بود. او بررسی کرد که اگر با یک جفت خرگوش نر و ماده شروع کنیم و فرض کنیم هر جفت خرگوش پس از یک ماه به بلوغ می‌رسد و از ماه دوم به بعد هر ماه یک جفت جدید به دنیا می‌آورد، جمعیت خرگوش‌ها طی زمان چگونه افزایش خواهد یافت.

تصور کنید خرگوش‌ها همین حالا به دنیا آمده‌اند و پس از یک ماه بالغ می‌شوند. دوران بارداری خرگوش ماده یک ماه است و هنگامی که به این سن برسد، قطعاً باردار می‌شود. پس‌از‌آن، یک خرگوش ماده و یک نر به دنیا می‌آیند و البته خرگوش‌ها هرگز نمی‌میرند؛ به‌این‌ترتیب پس از یک سال چه تعداد خرگوش ماده و چه تعداد نر خواهیم داشت؟

فیبوناچی Fn​ را برابر با تعداد جفت‌های خرگوش در ماه nاُم در نظر گرفت. براین‌اساس، در ماه اول یک جفت و در ماه دوم 2 جفت خواهیم داشت. نکته مهم این است که هر جفت خرگوش پس از یک ماه بالغ شده و از ماه دوم به بعد، در هر ماه یک جفت جدید به دنیا می‌آورد؛ بنابراین، تعداد جفت‌های جدید در هر ماه برابر است با مجموع تعداد جفت‌های 2 ماه قبل؛ یعنی Fn-1 + Fn-2.

اگر مقادیر اولیه را برابر یک برای F1 و 2 برای F2 در نظر بگیریم، می‌توان تعداد جفت‌ها را پس از یک سال، ۱۲ ماه (F12)، به دست آورد که برابر است با ۱۴۴. البته توافق شده که 2 مقدار اولیه یک و یک (به‌جای ۱ و ۲) نوشته شود.

به‌این‌ترتیب سری فیبوناچی به‌صورت زیر تعریف کرد:

و این سری به‌همین‌ترتیب تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کند.

مسئله زنبورها

سری فیبوناچی در دنیای واقعی درمورد جمعیت هم کاربرد دارد؛ برای مثال، می‌توان به زنبورها اشاره کرد. بین یک گروه از زنبورهای عسل یک زنبور ماده وجود دارد که آن را با نام ملکه می‌شناسیم. البته ماده‌های دیگری هم هستند که در رده زنبورهای کارگر به حساب می‌آیند و توانایی تخم‌گذاری ندارند.

زنبورهای نر کار نمی‌کنند، زهر ندارند و شهد و گرده نیز جمع‌آوری نمی‌کنند. این زنبورها فقط زنبور ملکه را بارور می‌کنند.

زنبورهای نر به‌واسطه تخم‌های بارورنشده ملکه به دنیا می‌آیند و هیج پدری ندارند اما تمامی زنبورهای ماده هم پدر دارند هم مادر. تعدادی اندکی از این زنبورهای ماده به‌واسطه تغذیه از شاه‌انگبین یا غذای ملکه، خود به ملکه‌ای تبدیل می‌شوند که می‌تواند کلونی جدیدی از زنبورها را تشکیل دهد.

خلاصه اینکه زنبورهای ماده پدر و مادر دارند اما نرها تنها مادر دارند. بیایید نگاهی به درخت زادوولد زنبورها بیندازیم:

همان‌طور که در نمودار بالا مشاهده می‌کنید، یک زنبور نر (فقط M در پایین جدول) داریم که از یک مادر (M بالای آن) متولد شده است و هیچ پدری ندارد. پس تا اینجا 2 عدد اول سری تکمیل شده است: ۱ و ۱.

بالاتر از آن، زنبور ماده باید یک والد داشته باشد: هم پدر هم مادر؛ به‌عبارتی، در این رده به ۲ زنبور می‌رسیم که با قاعده سری فیبوناچی، حاصل جمع 2 عدد قبلی (۱ و ۱)، هماهنگ است. می‌توانید این سری را تا بالاتر هم ادامه دهید و مشاهده می‌کنید که تعداد زنبورهای هر نسل از جمع زنبورهای 2 نسل بعدی به دست می‌آید. در شکل بالا تا ۶ نسل نشان داده شده است.

مارپیچ فیبوناچی

الگوی افزایش جمعیت زنبورها تنها نمونه‌ هماهنگی طبیعت با سری فیبوناچی نیست؛ این نظم ریاضی به‌قدری گسترده است که در بسیاری از پدیده‌های طبیعی مشاهده می‌شود. یکی از نمونه‌های بارز آن ساختار پوسته صدف‌های حلزونی‌شکل است.

برای درک این ارتباط، می‌توان از الگوی ساده هندسی آغاز کرد: ابتدا 2 مربع با اضلاع یک واحد را کنار یکدیگر قرار می‌دهیم. سپس مربعی با ضلع ۲ را در کنار آنها اضافه می‌کنیم، پس‌ازآن مربعی با ضلع ۳ و به‌همین‌ترتیب ادامه می‌دهیم. این چیدمان پایه‌ای برای رسم مارپیچ فیبوناچی است که در طبیعت، هنر و معماری به‌وفور دیده می‌شود.

اگر در هر مربع، یک‌چهارم از یک دایره را رسم کنیم، به‌طوری‌که شعاع هر قوس برابر با ضلع مربع مربوطه باشد، و این روند را با افزایش تدریجی اندازه مربع‌ها ادامه دهیم، درنهایت شکلی مارپیچی ایجاد می‌شود که شباهت زیادی به پوسته صدف‌های حلزونی دارد.

این الگو کاملاً براساس سری فیبوناچی شکل می‌گیرد. اگر این توضیح گیجتان می‌کند، کافی است نگاهی به شکل زیر بیندازید:

این الگوی شگفت‌انگیز به‌وفور در طبیعت یافت می‌شود:

نسبت طلایی

نسبت طلایی (Golden Ratio) رابطه ریاضی منحصربه‌فردی است که در بسیاری از پدیده‌های طبیعی، هنر و معماری دیده می‌شود. این نسبت زمانی میان 2 مقدار برقرار است که نسبت عدد بزرگ‌تر به عدد کوچک‌تر، برابر با نسبت مجموع آنها به عدد بزرگ‌تر باشد. این رابطه به‌صورت معادله‌ زیر بیان می‌شود:

مقدار تقریبی این نسبت برابر با 1.61803 است و با نماد یونانی فی (φ) نشان داده می‌شود. در دنباله فیبوناچی، نسبت اعداد متوالی دنباله به مقدار نسبت طلایی نزدیک است و هرچه دنباله فیبوناچی بزرگ‌تر می‌شود، نسبت عدد به عدد قبلی خود به φ نزدیک‌تر می‌شود.

نسبت طلایی در واقع بیانگر گرایش طبیعت به نظم و بهره‌وری حداکثری است؛ برای مثال، در شاخ و برگ درختان، زاویه رشد برگ‌ها طوری تنظیم می‌شود که نور خورشید یکنواخت به تمام برگ‌ها برسد و کمترین میزان سایه روی یکدیگر ایجاد شود.

همچنین در ساختار کهکشان‌های مارپیچی، بازوهای مارپیچی براساس این نسبت گسترش می‌یابند و شکلی متوازن و هماهنگ ایجاد می‌کنند. در گل آفتابگردان نیز دانه‌ها براساس این نسبت، به‌گونه‌ای چیده شده‌اند که فضا کاملاً پر شود.

حتی در آناتومی بدن انسان نیز می‌توان این الگو را مشاهده کرد؛ مثلاً نسبت طول بخش‌های مختلف انگشتان به یکدیگر با نسبت طلایی هماهنگ است. این نظم فراگیر نتیجه فرایند تکاملی طولانی است که کارآمدترین شکل‌بندی را برای بقا و رشد به وجود آورده است. در ادامه برای درک بهتر، ویدیویی زیبا درباره دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی و کاربرد آنها در طبیعت آورده‌ایم:

نسبت طلایی به‌ اندازه‌ای اهمیت دارد که حتی در طراحی وب‌سایت‌ها یا لوگوها هم کاربرد دارد.

نمونه‌های دیگری از کاربرد این موضوع در طراحی لوگوها را می‌توانید در تصاویر زیر مشاهده کنید:

معرفی علائم ریاضی پس از سیستم اعداد مدرن

در کنار تحولی که فیبوناچی تلاش کرد با استفاده از سیستم اعداد جدید ایجاد کند، ریاضیات نیاز به علامت‌های دیگری برای محاسبات داشت. به این منظور علائم زیر معرفی شدند:

• علامت به‌علاوه (+) و منها (-) را «جوهانس ویدمن»، ریاضی‌دان آلمانی، سال ۱۴۸۹ معرفی کرد.
• علامت مساوی (=) را «رابرت ریکورد»، ریاضی‌دان بریتانیایی، سال ۱۵۵۷ معرفی کرد.
• علامت ضرب (X) را «ویلیام اوترد»، ریاضی‌دان بریتانیایی، سال ۱۶۳۱ اختراع کرد.
• سال 1659 نیز «جوهان ران»، ریاضی‌دانی سوئیسی، علامت تقسیم (÷) را اختراع کرد.

دیگر فعالیت‌های فیبوناچی

فیبوناچی علاوه‌بر کتاب حساب، کتاب‌های دیگری نیز تألیف کرد. برخی از این کتاب‌ها به‌طور ویژه برای ریاضی‌دانان حوزه ریاضی محض نوشته شده بودند. علاوه‌براین، مدرسه ریاضی‌دانان توسکان را تأسیس کرد. از سایر نوشته‌های فیبوناچی می‌توان به این موارد اشاره کرد:

•  سال 1223: «هندسه عملی» که ترکیبی از ریاضیات محض، قضیه‌ها، اثبات‌ها و کاربردهای عملی برای هندسه، ازجمله استفاده از تشابه مثلث‌ها برای محاسبه ارتفاع اشیای بلند بود.
• سال 1225: راه‌حل‌هایی برای تعدادی مسئله جبر.
• سال 1225: کتاب «مربع‌ها» که کتابی برای تئوری اعداد ریاضی بود و راهکارهایی برای معادله چندجمله‌ای با متغیرهای صحیح ارائه می‌داد. در این کتاب مشخص می‌شود ایده‌های ریاضیات فیبوناچی تا چه اندازه موفق بوده است.
• در تاریخ نامشخص: کتابی که به تشریح ریاضیات تجاری اختصاص دارد.
• در تاریخ نامشخص: تفسیری بر کتاب اصول اقلیدس که البته اکنون هیچ نسخه‌ای از این کتاب نسیت.

پایان زندگی فیبوناچی

درباره پایان زندگی فیبوناچی اطلاعات چندانی در دسترس نیست. فقط می‌دانیم بین سال‌های ۱۲۴۰ تا ۱۲۵۰ میلادی که حدود ۷۰ سال داشته، در پیزا از دنیا رفته است.

۲۳ نوامبر (۲ آذر) به نام روز فیبوناچی شناخته می‌شود؛ زیرا ۲۳ از ماه ۱۱ سال و مشابه با شروع سری فیبوناچی (۳-۲-۱-۱) است.

خلاصه؛ فیبوناچی کیست؟

فیبوناچی (لئوناردو پیزانو)، ریاضی‌دان ایتالیایی قرون وسطی (حدود ۱۱۷۰ تا ۱۲۴۰ میلادی)، یکی از تأثیرگذارترین چهره‌های ریاضیات است. او با معرفی سیستم اعداد هندی-عربی (اعداد ۰ تا ۹) به اروپا، انقلابی در ریاضیات و علوم اقتصاد ایجاد کرد.

فیبوناچی به‌خاطر کتاب حساب و معرفی دنباله فیبوناچی مشهور است. این دنباله و نسبت طلایی مرتبط با آن، نه‌فقط در ریاضیات، بلکه در طبیعت، هنر و معماری نیز کاربردهای گسترده‌ای دارند. کتاب حساب فیبوناچی تأثیرات مهمی بر پیشرفت تجارت و امور مالی گذاشت و به رشد اقتصادی اروپا کمک شایانی کرد.

سؤالات متداول

این مطلب را «علی باقرزاده» نوشته و «لیلا برغمدی» به‌روزرسانی کرده است.