نگاهی به زندگی فیبوناچی و خدمات او به دنیای ریاضی؛ از اعداد مدرن تا نسبت طلایی

فیبوناچی یکی از مشهورترین نام ها در ریاضی است و برخی او را بزرگترین ریاضیدان قرون وسطی می دانند. او سیستم اعداد مدرن را به غرب معرفی کرد که در نهایت موجب کامل شدن علم ریاضی شد. علاوه بر این سری فیبوناچی را ارائه داد که نشانه های آن در جای جای طبیعت مشاهده می شود و حتی در دنیای طراحی مدرن کاربرد دارد.

فیبونناچی در حدود سال های 1170 تا 1175 در پیزا ایتالیا به دنیا آمد البته نام اصلی او «لئوناردو بوناچی» بود. بعدها به لئوناردوی پیزا و در نهایت به فیبوناچی مشهور شد. با این حال در دوران حیات خود به فیبوناچی شهره نبود.

پدر او، «گوگلیمو بوناچی» مقامی رسمی در حوزه تجارت بین پیزا و شمال آفریقا بود. پدر زمان زیادی را در بندر عربی بجایه در الجزایر سپری کرده بود. کارهایی که او در زمینه مالیات های تجاری انجام می داد او را به این باور رساند که آینده افرادی که اعداد را به طور کامل درک می کنند روشن خواهد بود. علاوه بر این پسرش، لئوناردو برای مدت کوتاهی در شهر بجایه به تحصیل ریاضیات مشغول بود.

لئوناردو در جستجوی راه های جدید

فیبوناچی جوان زمانی که ریاضیات را از عرب ها آموخت شیفته این علم شد. در آن زمان عرب ها بر خلاف رومی ها از روش متفاوتی برای نمایش دادن اعداد استفاده می کردند. رومی ها سیستم پیچیده تری داشتند که بر اساس آن اعداد به صورت V ،IV ،III ،II ،I و ... نشان داده می شد. برای هزاران سال بود که همین سیستم اعداد در اروپا مورد استفاده قرار می گرفت.

فیبوناچی

در واقع ریاضیات غربی بعد از سقوط یونان باستان به خواب عمیقی فرو رفته بود. این علم در یونان باستان درخشان ظاهر شده بود اما سیستم اعداد یونانی مانعی در راه پیشرفت آن بود. در واقع همان طور که در سیستم اعداد رومی هم گفته شد، یونانی ها از حروف الفبا برای نشان دادن اعداد استفاده می کردند.

برای اینکه پیچیدگی این سیستم را درک کنید مثالی می زنیم: با استفاده از اعداد مدرن می توان به سادگی 17 را در 19 ضرب کرد. حالا تصور کنید برای این منظور از Q و S که هفدهمین و نوزدهمین حروف الفبا هستند استفاده کنید. در سیستم اعداد رومی چنین ضربی به صورت XVII × XIX نشان داده می شود. تصور استفاده از هزار یا حتی 10 هم عجیب به نظر می رسد. به این ترتیب زندگی با این اعداد بسیار پیچیده بود.

مشکل دیگر این بود که سیستم های اعداد رومی و یونانی قدیمی فاقد صفر بودند که محاسبات ریاضی را بیش از پیش مشکل می کرد و در عین حال پیشرفت های بیشتر در حوزه ریاضی را هم با مشکل مواجه کرده بود.

فیبوناچی اما خود را در سیستم اعداد جدید که در بجایه آموخته بود غوطه ور کرد و دریافت که در این سیستم در مقایسه با اعداد رومی مزیت های قابل توجهی دارد. او همچنین در سراسر مدیترانه از یونان، سیسیل و جنوب فرانسه تا سوریه سفر کرد و در مورد ریاضی بیشتر آموخت.

فیبوناچی

سیستم اعدادی که فیبوناچی عاشقش شده بود از هندوستان سرچشمه گرفته بود. در تصویر نمایش اعداد صفر تا 9 در سیستم اعداد هندی را مشاهده می کنید. در این سیستم اعداد 0، 2 و 3 بسیار شبیه به همین اعداد در سیستم مدرن هستند.

در ادامه اعداد به غرب رفتند و به ایران رسیدند، سپس از راه خاور میانه به آفریقا راه یافتند و در نهایت راه خود را به غرب باز کردند. البته شکل ظاهری آنها هم تغییراتی را تجربه کرد. در اروپا این سیستم اعداد را به نام «اعداد عربی» نامیدند اما امروزه «سیستم اعداد هندو عربی» خوانده می شود.

کتاب حساب فیبوناچی، آغاز گسترش سیستم اعداد مدرن

به باور فیبوناچی سیستم اعداد هندی مزیت عمده ای در مقایسه با سیستم رومی داشت و اروپایی هم باید از این سیستم استفاده می کردند. در سال 1202 او «کتاب حساب» را منتشر کرد و با آن گسترش استفاده از سیستم اعداد جدید در غرب دنیا را آغاز کرد. 26 سال بعد در 1228 نسخه به روز شده ای از کتاب را منتشر کرد.

فیبوناچی

مسیر گسترش سیستم اعداد مدرن به سوی غرب

کتاب حساب نحوه محاسبات در تجارت، امور مالی و ریاضیات محض را بر اساس سیستم اعداد جدید تشریح می کرد.

کتاب فیبوناچی آغازگر تغییراتی جدید در افکار اروپایی ها بود اما عمومی شدن استفاده از این اعداد فرایند طولانی (حتی پس از فوت فیبوناچی) را سپری کرد و پذیرش عمومی آن تنها پس از 2 رویداد آغاز شد. یکی از آنها اختراع سیستم چاپ گونتبرگ در سال 1440 بود و دیگری به سقوط قسطنطنیه در سال 1453 باز می گشت.

سقوط قسطنطنیه موجب شد پناهجویان بسیاری به سمت ایتالیا بیایند. بسیاری از این افراد متون یونانی قدیمی را با خود به همراه داشتند. برخی از این متون برای سال ها در قسطنطنیه دور از دسترس بودند. آزاد شدن همین متون به مرور موجب شدند مقاومت ها در برابر سیستم اعداد جدید در ایتالیا کاهش پیدا کند.

فیبوناچی

تصویری از «گریگور رایش» مربوط به سال 1503. فردی که در سمت چپ نشسته از سیستم اعداد مدرن استفاده می کند و خوشحال است در حالی که فرد سمت راست که فیثاغورث است از یک چرتکه استفاده می کند و البته ناراحت هم به نظر می رسد. در میانه تصویر زنی دیده می شود که روی لباسش نقوشی از اعداد جدید را دارد.

کتاب حساب فیبوناچی همچنین تأثیرات مهمی بر تجارت و امور مالی در اروپا گذاشت. در بین کشورهای عرب زبان اما سیستم اعداد مدرن تنها توسط دانشمندان و ریاضیدان ها استفاده می شد. فیبوناچی که متوجه مزیت های این سیستم اعداد شده بود چندین بخش از کتاب خود را به تشریح محاسبات سود و تبدیل ارزها تخصیص داد. در واقع می توان گفت که تأثیر کتاب در دنیای تجارت بیش از دنیای علم بود.

از بخش هایی که در کتاب به آنها پرداخت شده بود می توان به این موارد اشاره کرد:

  • اعداد جدید
  • ضرب، جمع، تفریق و تقسیم
  • محاسبات کسری
  • قوانین مالی
  • حسابداری
  • ریشه های دوم و سوم
  • معادلات درجه دوم
  • تناسب
  • قواعد جبری
  • تصاعد

بخش مرتبط با جبر در کتای حساب فیبوناچی از اصولی که توسط خوارزمی ریاضیدان ایرانی، ابوکاکل از مصر و ابوبکر کرجی از بغداد ارائه شده بود، الهام گرفته بود.

معمای زاد و ولد خرگوش فیبوناچی

یکی از مسائل دیگر ی که توسط فیبوناچی مطرح شده بود، مسئله خرگوش بود که بعدها موجب به وجود آمدن سری فیبوناچی معروف شد. فیبوناچی قصد داشت بررسی کند که اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشید، میزان زاد و ولد آنها چطور خواهد بود.

تصور کنید خرگوش ها همین حالا به دنیا آمده اند و پس از یک ماه بالغ می شوند، دوران بارداری خرگوش ماده یک ماه است و هنگامی که به این سن برسد قطعاً باردار می شود. پس از آن یک خرگوش ماده و یک نر به دنیا می آیند و البته خرگوش ها هرگز نمی میرند. به این ترتیب پس از یک سال چه تعداد خرگوش ماده و چه تعداد نر خواهیم داشت؟

فیبوناچی

او Fn را برابر با تعداد جفت ها در ماه n اُم در نظر گرفت. در نتیجه در ماه اول یک، در ماه دوم، 2 عدد و به همین ترتیب را می توان در نظر داشت. اما یک موردی را نباید فراموش کرد. هر جفت خود می تواند پس از یک ماه جفت دیگری را به دنیا آورد. به این ترتیب تعداد جفت های جدید برابر تعداد جفت های دو ماه قبل می شود که این میزان با Fn-1 نشان داده می شود. در نتیجه در هر ماه تعداد جفت های کل برابر با Fn-1 + Fn-2 خواهد بود.

اگر مقادری اولیه را برابر با 1 برای F1 و 2 برای F2 در نظر بگیریم می توان تعداد جفت ها را پس از یک سال یعنی برای 12 ماه (F12) به دست آورد که برابر با 23 می شود. البته توافق شده است که دو مقدار اولیه 1و 1 (به جای 1و 2) نوشته شود.

به این ترتیب می توان سری فیبوناچی را این گونه تعریف کرد:

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233

و این سری به همین ترتیب تا بی نهایت ادامه پیدا می کند.

مسئله زنبورها

مسئله خرگوش ها یک موضوع ساختگی بود اما حقیقت این است که سری فیبوناچی در دنیای واقعی در مورد جمعیت هم کاربرد دارد. به عنوان مثال می توان به زنبورها اشاره کرد. برای اینکه ارتباط سری فیبوناچی به نحوه افزایش جمعیت زنبورها را درک کنید ابتدا بیایید نحوه تولد انواع آنها را بررسی کنیم.

در بین یک گروه از زنبورهای عسل یک نوع ماده وجود دارد که آن را با نام ملکه می شناسیم. البته ماده های دیگری هم هستند که در رده زنبورهای کارگر به حساب می آیند و توانایی تخمگذاری ندارند. زنبورهای نر هم کار نمی کنند، زهر هم ندارند و شهد و گرده هم جمع آوری نمی کنند. این زنبورها تنها زنبور ملکه را بارور می کنند.

زنبورهای نر به واسطه تخم های بارور نشده ملکه به دنیا می آیند و به این ترتیب هیج پدری ندراند. اما تمامی زنبورهای ماده هم پدر دارند و هم مادر. تعدادی اندکی از این زنبورهای ماده به واسطه تغذیه از شاه انگبین یا غذای ملکه، خود به ملکه ای تبدیل می شوند که می تواند کلونی جدیدی از زنبورها را تشکیل دهد.

پس به طور خلاصه باید گفت که زنبورهای ماده پدر و مادر دارند در حالی که نرها تنها مادر دارند. بیایید نگاهی به درخت زاد و ولد زنبورها داشته باشیم.

فیبوناچی

نمودار زاد و ولد زنبور عسل در تطابق با سری فیبوناچی

همان طور که در نمودار بالا مشاهده می کنید یک زنبور نر (تنها M در پایین جدول) داریم که از یک مادر (M بالای آن) متولد شده است و هیچ پدری ندارد. پس تا اینجا 2 عدد اول سری تکمیل شده است: 1 و 1.

اما بالاتر از آن که برویم زنبور ماده باید دو والد داشته باشد، هم پدر و هم مادر. به عبارتی در این رده به دو زنبور می رسیم که با قاعده سری فیبوناچی یعنی حاصل جمع دو عدد قبلی (1 و 1) هماهنگ است. می توانید این سری را تا بالاتر هم ادامه دهید و مشاهده خواهید کرد که تعداد زنبورهای هر نسل از جمع زنبورهای دو نسل بعدی به دست می آیند. در این شکل تا 6 نسل نشان داده شده است.

مارپیچ طلایی فیبوناچی

فیبوناچی

الگوی افزیش جمعیت زنبورها تنها موردی نیست که نشان از هماهنگی طبیعت با سری فیبوناچی دارد. شاید باورتان نشود اما گستردگی این هماهنگی به حدی است که در جای جای طبیعت می توانید آن را در ظاهر اسپیرال طلایی مشاهده کنید.

به عنوان نمونه باید به پوسته صدف های حلزونی شکل اشاره کرد. برای اینکه این ارتباط را درک کنید ابتدا با یک شکل ساده شروع می کنیم. در ابتدا با دو مربع کنار هم به عرض های 1 واحد شروع می کنیم. در کنار این دو یک مربع با عرض 2 قرار می دهیم و سپس در کنار این سه مربعی با عرض 3 و الی آخر.

در صورتی که هر مربع یک چهارم از یک دایره با شعاعی به اندازه ضلع مربع را تشکیل دهد و به همین ترتیب با بزرگتر شدن شکل کلی قوس های دایره ها را هم بزرگتر کنیم با شکلی مشابه صدف مارپیچی مواجه می شویم که تماماً بر اساس سری فیبونایچی تولید شده است. اگر گیج شده اید کافی است نگاهی به شکل زیر بیاندازید.

فیبوناچی

می توانید این مربع ها و در ادامه ربع دایره ها را تا بی نهایت ادامه دهید تا شکل مارپیچی منظمی را ایجاد کنید. سری فیبوناچی به همین شکل در گیاهان هم دیده می شود. گل آفتابگردان بر اساس سری فیبوناچی تا اعداد 34، 55 و حتی 89 رشد می کند.

دفعه بعد که یک گل آفتابگردان را دیدید به این مورد بیشتر دقت کنید و با مشاهده سری فیبوناچی در آن شگفت زده شوید. در گل آفتابگردان منحنی ها در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد ایجاد می شوند.

فیبوناچی

در میوه کاج هم می توانید نشانه های سری فیبوناچی را ببینید. همان طور که در شکل زیر هم مشاهده می کنید تعداد دایره داخلی منحنی های ساعت گرد 8 عدد است و در یک لایه خارجی تر این میزان 13 (حاصل جمع 5 و 8) و در جهت پاد ساعت گرد است. در صورتی که به داخل بروید این میزان به 5 و سپس 3 و 2 و 1 کاهش پیدا می کند.

فیبوناچی

زاویه طلایی فیبوناچی

هر چه دنباله فیبوناچی بزرگتر می شود نسبت عدد به عدد قبلی خود به عدد طلایی φ (فی) نزدیکتر می شود. این میزان تقریباً برابر با 1.618 است.

نسبت طلایی به اندازه ای اهمیت دارد که حتی در طراحی وبسایت ها یا لوگو ها هم کاربرد دارد.

فیبوناچی

به عنوان نمونه وبسایت National Geographic از مارپیچ طلایی برای وبسایت خود بهره برده است.

نمونه های دیگری از کاربرد این موضوع در طراحی لوگو ها را می توانید در تصاویر زیر مشاهده کنید:

علائم ریاضی مطرح شده پس از سیستم اعداد مدرن

در کنار تحولی که فیبوناچی تلاش داشت با استفاده از سیستم اعداد جدید ایجاد کند، ریاضیات نیاز به علامت های دیگری برای محاسبات داشت. به این منظور علائم زیر معرفی شدند:

  • علامت به علاوه (+) و منها (-) توسط «جوهانس ویدمن»، ریاضیدان آلمانی در سال 1489 معرفی شد.
  • علامت مساوی (=) در سال 1557 توسط «رابرت ریکورد» ریاضیدان بریتانیایی معرفی شد.
  • علامت ضرب (X) در سال 1631 توسط «ویلیام اوترد» ریاضیدان بریتانیایی اختراع شد.
  • در نهایت در 1659 «جوهان ران» ریاضیدانی سوئیسی علامت تقسیم (÷) را اختراع کرد.
دیگر فعالیت های فیبوناچی

فیبوناچی همچنین کتاب های دیگری را به رشته تحریر در آورد. برخی از این کتاب ها به طور ویژه برای ریاضیدانان حوزه ریاضی محض نوشته شده بودند. علاوه بر این مدرسه ریاضیدانان توسکان را تأسیس کرد. از سایر نوشته های فیبوناچی می توان به این موارد اشاره کرد:

  •  سال 1223: «هندسه عملی» که ترکیبی از ریاضیات محض، قضیه ها، اثبات ها و کاربردهای عملی برای هندسه از جمله استفاده از تشابه مثلث ها برای محاسبه ارتفاع اشیاء بلند بود.
  • سال 1225: راه حل هایی برای تعدادی مسئله جبر
  • سال 1225: «کتاب مربع ها» که کتابی برای تئوری اعداد ریاضی بود و راهکارهایی برای معادله چند جمله ای با متغیرهای صحیح ارائه می داد. در این کتاب است که مشخص می شود ایده های ریاضیات فیبوناچی تا چه اندازه موفق بوده است.
  • در تاریخ نامشخص: کتابی که به تشریح ریاضیات تجاری می پرداخت.
  • در تاریخ نامشخص: تفسیری بر کتاب اصول اقلیدس که البته اکنون هیچ نسخه ای از این کتاب وجود ندارد.
پایان زندگی فیبوناچی

در مورد پایان زندگی فیبوناچی اطلاعات چندانی در دسترس نیست. تنها می دانیم که تا سال 1240 میلادی زندگی کرده، زمانی که در حدود 70 سال داشته است.

جالب اینکه روز 23 نوامبر به نام روز فیبوناچی شناخته می شود، چرا که روز 23 از ماه 11 سال و مشابه با شروع سری فیبوناچی (3-2-1-1) است.

مطالب مرتبط

نگاهی به یافته های جالب «داده کاوی»؛ حاصل جمع ناپلئون با نوستراداموس

«داده» مثل یک منبع قدرت جادویی می ماند که به شما قابلیت های ماورایی می دهد. کسب و کارهای امروزی بدون داشتن «کلان داده» مثل موجودی می شوند که در تاریکی گیر افتاده است. ناپلئون بناپارت در مورد اهمیت داده ها می گوید: «۹۰ درصد هر جنگ به اطلاعات بستگی دارد». اگر این سردار موفق تاریخی امروز زنده بود... ادامه مطلب

ارزهای مجازی راه حلی جادویی برای حل مشکلات اقتصادی نیستند

بعد از اعلام آماده شدن لاحیه پیش نویس فعالیت ارزهای مجازی، معاون فناوری‌های نوین بانک مرکزی هم از اعلام 4 سیاست مهم بانک مرکزی در حوزه ارز رمزها تا پایان شهریور ماه خبر داد و اعلام کرد که این ارزها برخلاف تصور برخی مردم، راه حل قاطع مشکلات اقتصادی و بانکی نیستند اما می‌توان از... ادامه مطلب

مایکروسافت سومین شرکت یک تریلیون دلاری دنیا می‌شود؟

اواسط شهریور ماه، آمازون به دومین شرکت آمریکایی تبدیل شد که ارزش کلی سهام یک تریلیون دلاری را تجربه می‌کند. این در حالی است که پیشتر اپل موفق شده بود عنوان اولین شرکت یک تریلیون دلاری دنیا را بدست آورد. حال بررسی ‌های جدید نشان می‌دهد که مایکروسافت در حال حاضر موفق شده به ارزش... ادامه مطلب

گزارش مرکز ایسپا: تلگرام اول ماند، کاربران سروش را ترک کردند

بررسی‌های صورت گرفته در مرکز افکارسنجی دانشجویان ایران (ایسپا) گویای آن است که با وجود فیلترینگ، همچنان بیش از ۴۷ درصد کاربران از تلگرام استفاده می‌کنند و در ماه‌های گذشته میزان استفاده از شبکه‌های اجتماعی داخلی کاهش چشمگیری داشته است. طبق نتایج بررسی‌های صورت گرفته در مهر ماه سال جاری، ۶۲.۵ درصد از پاسخگویان اعلام کردند... ادامه مطلب

ژاپن آسانسور فضایی را آزمایش می کند

پرتاب محوله های مختلف به فضا فرایند بسیار پیچیده ای است که در حال حاضر با استفاده از راکت های پر هزینه، پیشرفته و تقریبا خطرناک صورت می گیرد. ژاپنی ها حالا برای توسعه راهی جایگزین پیش قدم شده اند که اغلب در فیلم ها و کتاب های تخیلی شاهد آن بوده ایم. این طرح شامل... ادامه مطلب

تولد نخستین نوزادان با DNA اصلاح شده؛ مقاومت ابدی در برابر HIV

محققان چینی از تولد نخستین نوزادانی خبر دادند که از نظر ژنتیکی اصلاحاتی روی آنها اعمال شده است. متخصصان دانشگاه علوم و فناوری «شنژن» آزمایشاتی را برای جایگزین کردن ژن CCR5 صورت داده اند که ویروس HIV هنگام آلوده کردن بدن انسان از آن استفاده می کند. بدین منظور از روش پیشرفته CRISPR/Cas9 استفاده شده که... ادامه مطلب

نظرات ۳

وارد شوید

برای گفتگو با کاربران، وارد حساب کاربری خود شوید.

ورود
x